选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）．以坐标原点为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线
和
共有四个不同交点，求
的取值范围．
已知函数
的图象的一条切线为
轴．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）令
，若不相等的两个实数
， 
满足
，求证： 
．
已知椭圆方程
，其左焦点、上顶点和左顶点分别为
， 
， 
，坐标原点为
，且线段
， 
， 
的长度成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过点
的一条直线
交椭圆于点
， 
，交
轴于点
，使得线段
被点
， 
三等分，求直线
的斜率．
某金匠以黄金为原材料加工一种饰品,由于加工难度大,该金匠平均每加工5个饰品中有4个成品和1个废品,每个成品可获利3万元,每个废品损失1万元,假设该金匠加工每件饰品互不影响．
（Ⅰ）若该金匠加工4个饰品，求其中废品的数量不超过1的概率？
（Ⅱ）若该金匠加工了3个饰品，求他所获利润的数学期望．
（两小问的计算结果都用分数表示）
如图， 
是正方形
的
边的中点，将
与
分别沿
、
折起，使得点
与点
重合，记为点
，得到三棱锥
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
如图，在
中， 
， 
， 
， 
．
（Ⅰ）求
的长；
（Ⅱ）求
．
