Question

已知两点，动点在轴上的投影是，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.

Answer

（1）；（2）过定点.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，建构关于动点坐标的方程即可；（2）依据题设条件，借助两互相垂直的直线与抛物线之间的位置关系，建立直线的方程分析探求：

（1）设点坐标为 ∴点坐标为 ∵

∴ ∴点的轨迹方程为

（2）当两直线的斜率都存在且不为0时，设

联立方程得， ， ，∴恒成立

∴，

∴中点坐标为

同理， 中点坐标为

∴

∴的方程为，

∴过点

当两直线的斜率分别为0和不存在时， 的方程为，也过点

综上所述， 过定点.

点睛：抛物线是重要的圆锥曲线代表之一，也是中学数学中重要的知识点与高考重点考查的考点。解答本题的第一问时，设动点坐标，再依据题设条件且建构关于动点坐标的方程从而使得问题获解；求解本题的第二问时，充分借助题设条件，先构设出两互相垂直的直线的方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系求出直线的方程，通过分析探求出定点的坐标。