Question

选修4－5：不等式选讲

设函数.

（1）求解不等式的解集；

（2）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围.

Answer

（1）{x|x＜3}；（2）（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求它们的并集，（2）先将条件转化为方程无解，再根据绝对值三角不等式确定函数值域，进而可得实数m的取值范围.

试题解析：（1）原不等式即为|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0，

若x≤2，则2﹣x+x﹣4＜0，符合题意，∴x≤2，

若2＜x＜4，则x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3，

若x≥4，则x﹣2﹣x+4＜0，不合题意，

综上，原不等式的解集是{x|x＜3}；

（2）若函数g（x） 的定义域为R，

则m﹣f（x）=0恒不成立，

即m=f（x）在R无解，

|f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2，

当且仅当（x﹣2）（x﹣4）≤0时取“=”，

∴﹣2≤f（x）≤2，

故m的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．