Question

已知函数

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上具有单调性，求实数的取值范围；

（3）求证：

Answer

（1） （2）a≤2．（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率等于该点处导数值，再利用点斜式求切线方程，（2）先按单调递增与单调递减分类讨论，再将函数单调性转化为函数导数值恒非负或非正，利用变量分离转化为求对应函数最值，进而确定实数的取值范围；（3）利用导数证明数列求和不等式，一般方法为先构造目标函数（利用前面小题的结论），再代入数列，利用裂项相消法放缩求和，进而得证不等式.

试题解析：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1处的切线方程为：y=x

（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．

（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，

即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，

当x＞ea时，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+；

令g（x）=lnx+，

则g′（x）=，x＞0；

则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

所以g（x）≥2，故a≤2．

（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞在（1，+∞）上总成立，

令x=得ln＞，

化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，

所以ln2﹣ln1＞，

ln3﹣ln2＞，…，

ln（n+1）﹣lnn＞，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞，

即命题得证．