Question

如图，在四棱锥中，底面为菱形，,为的中点.

（1）若，求证：；

（2）若，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由，为的中点，得，又由底面为菱形，根据菱形的性质，证得，进而证得，即可证明；（2）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得平面和平面的一个法向量，根据二面角大小为，利用向量的运算，即可求解求出的值.

试题解析：⑴∵，为的中点，∴，又∵底面为菱形，，∴，又，∴，又∵，∴；

⑵∵，，，

∴，∴以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图.

则，，，，设，

所以，平面的一个法向量是，

设平面的一个法向量为，

所以，∴∴.

取，

由二面角大小为，可得：，解得，此时.

考点：平面与平面垂直的判定与证明；空间向量的应用.