Question

如图所示，正方体的棱长为1， ， 分别是棱， 的中点，过直线的平面分别与棱， 交于， ，设， ，给出以下命题：

①四边形为平行四边形；

②若四边形面积， ，则有最小值；

③若四棱锥的体积， ，则为常函数；

④若多面体的体积， ，则为单调函数.

⑤当时，四边形为正方形.

其中假命题的个数为（    ）

A. 0    B. 3    C. 2    D. 1

Answer

D

【解析】对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理,所以四边形为平行四边形，正确；

对②因为平面， ，所以平面， 平面，所以，所以四边形面积，因为为定值，所以当分别为， 的中点时有最小值，正确；

对③,因为为定值， 到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确；

对④，如图：过作平面平面，分别交， 于，则多面体的体积，而,,,所以，常数，错；

对⑤，当时，四边形为正方形正确；

故选D.

点睛：本题属于命题判断，共5个命题，考查内容较多，知识综合性较强.第一个和第三个命题的判断需要结合题目分析运动的过程中不变的量，抓住定的特征，不难发现对错；第二个和第四个需要根据集合关系列出代数式，转化为函数的相关知识解答即可，最后一个直接根据边的关系判断即可.