Question

如图所示， 是边长为的正三角形， 平面，且在平面的同侧，它们在内的正射影分别是，且是， 到的距离为.

（1）求点到平面的距离；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）过作于， 于，推导出，由此能求出到平面的距离．
（2）以为原点，射线分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成较小二面角的余弦值．

试题解析：

（1）如图，过作于， 于.由题意知，

设，则，∴， ，

∴或（舍），∴点到平面的距离为.

（2）以为原点，射线分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

由（1）可知，

平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则取，得，

设平面与平面所成锐二面角为，则，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.