Question

已知定义域为的函数是奇函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】试题分析：(Ⅰ)先利用奇函数的性质求出值，再利用特殊值求得值，再验证即可；（Ⅱ）先利用单调性的定义证明函数为单调递减函数，再结合函数的奇偶性将问题等价转化为恒成立，再分离常数，将问题转化为求函数的最值问题.

试题解析：（Ⅰ） 在定义域为是奇函数，所以

又由检验知，当时，原函数是奇函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知任取设

则因为函数在上是增函数，

且所以又即

函数在上是减函数.

因是奇函数，从而不等式等价于因在上是减函数，由上式推得即对一切有： 恒成立，设令则有

即的取值范围为

点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：

①若奇函数在处有定义，则；

②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；

③特殊值验证法，如本题中由.