Question

已知中， ， 分别为边上的两个三等分点， 为底边上的高， ，如图1.将， 分别沿， 折起，使得， 重合于点， 中点为，如图2.

（1）求证： ；

（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设证明线面垂直，再借助线面垂直的性质定理分析推证；（2）依据题设条件构建空间直角坐标系，借助坐标之间的关系及向量的数量积公式分析求【解析】

（1）因为， 是的三等分点，所以，

所以是等边三角形，又因为是的中点，

所以.

因为， ， ，所以平面，

又，所以平面；

平面，所以.

因为，

所以平面.

因为平面，

所以.

（2）以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.

因为平面，

所以为直线与平面所成角.

由题意得，即，

从而.

不妨设，又，则， .

故， ， ， .

于是， ， ， ，

设平面与平面的法向量分别为， ，

由得，令，得，

所以.

由得，令得， .

所以.

所以.

所以二面角的平面角的大小为.

点睛：立体几何是高中数学中的重要内容和知识点，也是高考重点考查的重要内容内容和考点。这类问题的设置一般有两问：其一是空间线面位置关系（平行、垂直）的判定与论证；其二是角度距离的计算与求解。解答这类问题的方法是依据题设运用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行推断；角度距离的计算与求解通常是建立空间直角坐标系，运用向量的知识及数量积公式进行分析探求之。