Question

已知椭圆过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：

(1)利用题意确定 的值即可求得椭圆的标准方程；

(2)利用题意联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求得 的值，最后利用勾股定理进行计算，证得 为定值即可.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．

因为点在椭圆上，所以．故．

又因为，所以， ．

所以椭圆的标准方程为: ．

（Ⅱ）设， ，线段中点为．

联立和，得: ．

由，可得．

所以， ．

所以中点为．

弦长 ，

又直线与轴的交点，

所以．

所以 ．

所以、两点间距离为定值．

点睛：

第一问属于常规题目，第二问求解定值，求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

本题利用第二种方法求解定值.