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已知椭圆过点,且离心率为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆交于、两点,...

已知椭圆过点,且离心率为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,以为对角线作正方形,记直线轴的交点为,问两点间距离是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.

 

(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】试题分析: (1)利用题意确定 的值即可求得椭圆的标准方程; (2)利用题意联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求得 的值,最后利用勾股定理进行计算,证得 为定值即可. 试题解析: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为. 因为点在椭圆上,所以.故. 又因为,所以, . 所以椭圆的标准方程为: . (Ⅱ)设, ,线段中点为. 联立和,得: . 由,可得. 所以, . 所以中点为. 弦长 , 又直线与轴的交点, 所以. 所以 . 所以、两点间距离为定值. 点睛: 第一问属于常规题目,第二问求解定值,求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 本题利用第二种方法求解定值.  
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考点分析:
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已知函数

(Ⅰ)过原点作曲线的切线,求切线方程;

(Ⅱ)当时,讨论曲线与曲线公共点的个数.

 

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如图,在中, 为直角, .沿的中位线,将平面折起,使得,得到四棱锥

(Ⅰ)求证: 平面

(Ⅱ)求三棱锥的体积;

(Ⅲ)是棱的中点,过做平面与平面平行,设平面截四棱锥所得截面面积为,试求的值.

 

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“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量,以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分:

累积净化量(克)

12以上

等级

P1

P2

P3

P4

 

为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量,随机抽取台机器作为样本进行估计,已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照 均匀分组,其中累积净化量在所有数据有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并绘制了如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求的值及频率分布直方图中的值;

(Ⅱ)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台?

(Ⅲ)从累积净化量在的样本中随机抽取2台,求恰好有1台等级为P2的概率.

 

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已知分别是的三个内角的三条对边,且

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)求的最大值.

 

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数列中, 是常数, ),且 成公比不为1的等比数列.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的通项公式.

 

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