Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；

（2）若在上存在极值，求的取值范围；

（3）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

(1) ;(2) ；（3）.

【解析】试题分析：（1）求导得斜率，写出切线方程，代入已知点求出的值；

（2）由为上的减函数，有极值的条件为在区间上有变号零点，故得出的取值范围；

（3）将已知条件转化为对恒成立，构造函数，求导利用单调性求得最值，只需即可.

试题解析：

（1），，

，曲线在点处的切线方程为，

代入得.

（2）为上的减函数，

.

（3）当时，恒成立，则，

即对恒成立.

设，，

设，，在上递减，

又，则当时，，；当时，，.

，

，即的取值范围为.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；

（3）若 恒成立，可转化为.