Question

已知函数，.

（1）设，，求证：对任意正数，在与中至少有一个不大于0；

（2）讨论函数在区间上零点的个数.

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）利用反证法证明，假设中没有一个不大于0，由推出矛盾即可；

（2）对函数求导，利用函数单调性，根据图像可得结论.

试题解析：

（1）（反证法）证明：假设中没有一个不大于0，即，，

则.

设，则，

令，得；令，得.

所以，即.

故与矛盾，

从而，对任意正数，在中至少有一个不大于0.

（2）【解析】
由题可得，令，得.

设，，令，得；令，得.

故在上递减，在上递增.

，且，.

当或时，无零点.

当或时，有1个零点；

当时，有2个零点.

点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.