已知函数,.
(Ⅰ)当时,求的最大值;
(Ⅱ)若对,恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)证明.
在直角坐标系中,椭圆:的左、右焦点分别为,,其中也是抛物线:的焦点,点为与在第一象限的交点,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点,若线段上存在定点使得以、为邻边的四边形是菱形,求的取值范围.
某班为了提高学生学习英语的兴趣,在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛,比赛分为预赛和决赛2个阶段,预赛为笔试,决赛为说英语、唱英语歌曲,将所有参加笔试的同学(成绩得分为整数,满分100分)进行统计,得到频率分布直方图,其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1,落在的人数为12人.
(Ⅰ)求此班级人数;
(Ⅱ)按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛,已知甲乙两位选手已经取得决赛资格,参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序.
(i)甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率;
(ii)记甲乙二人排在前三位的人数为,求的分布列和数学期望.
已知数列与满足,,,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,为数列的前项和,求.
如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,,,,,、、分别是棱、、的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
已知向量,,设.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)在中,角,,的对边分别是,,,且满足,求的取值范围.