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已知函数,. (Ⅰ)当时,求的最大值; (Ⅱ)若对,恒成立,求的取值范围; (Ⅲ...

已知函数

(Ⅰ)当时,求的最大值;

(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)证明

 

(I);(II);(III)详见解析. 【解析】试题分析:(1)运用导数与函数的单调性的关系等知识直接求解;(2)先对函数进行求导,再运用分类讨论的方法对不等式进行分析转化再运用导数知识求解;(3)先借助(1)的结论建立不等式,再运用叠加法、放缩法分析推证。 试题解析: 【解析】 (Ⅰ)当时,,, , 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; ∴函数的最大值. (Ⅱ),∵,∴. ①当时,恒成立, ∴在上是减函数,∴适合题意. ②当时,, ∴在上是增函数,∴, 不能使在恒成立. ③当时, 令,得, 当时,, ∴在上为增函数, ∴,不能使在恒成立, ∴的取值范围是. (Ⅲ)由(Ⅰ)得, ∴(), 取, ,则, ∴ , ∴, ∴. 点睛:本题以含参数的函数解析式为背景,精心设置了三个问题旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值(最值)等方面的综合运用。求解第一问时,则直接运用导数与函数单调性之间的关系求解;解答第二问时,先对函数进行求导,再运用分类讨论的思想进行分析验证,从而使得问题获解;解答第三问时,充分借助问题(1)的结论构造不等式,然后运用叠加法、放缩法进行分析推证,从而使得问题简捷、巧妙获证。  
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考点分析:
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在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,其中也是抛物线的焦点,点在第一象限的交点,且

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点,若线段上存在定点使得以为邻边的四边形是菱形,求的取值范围.

 

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某班为了提高学生学习英语的兴趣,在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛,比赛分为预赛和决赛2个阶段,预赛为笔试,决赛为说英语、唱英语歌曲,将所有参加笔试的同学(成绩得分为整数,满分100分)进行统计,得到频率分布直方图,其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1,落在的人数为12人.

(Ⅰ)求此班级人数;

(Ⅱ)按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛,已知甲乙两位选手已经取得决赛资格,参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序.

(i)甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率;

(ii)记甲乙二人排在前三位的人数为,求的分布列和数学期望.

 

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(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设为数列的前项和,求

 

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如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,分别是棱的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

 

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已知向量,设

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(Ⅱ)在中,角的对边分别是,且满足,求的取值范围.

 

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