Question

在平面直角坐标系中，已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点.

()求证:

()在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

Answer

⑴详见解析；⑵.

【解析】试题分析：（1）根据条件，可知点的轨迹是，两点所在的直线，即 ，联立消元得，设交点坐标为，，所以，，因为 可得，

（2）假设存在点，并设是过抛物线的弦，其方程为，根据直线与圆锥曲线的位置关系得，，所以利用可得，故存在这样的点满足题意，则，代入条件消元 ，消去得．

试题解析：（1）由，可知点的轨迹是，两点所在的直线，所以点的轨迹方程为，即 ，

由 化简得，

设的轨迹与抛物线的交点坐标为，，

所以，，

，

因为

所以，

（2）假设存在这样的点，并设是过抛物线的弦，其方程为，

代入得，

此时，，计算两直线的斜率之积，

所以，

所以（定值），故存在这样的点满足题意，

设的中点为 ，

则， ，

消去得．