Question

已知函数为奇函数.

（1）求的值，并求函数的定义域；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）函数的定义域是;（2）见解析;（3）.

【解析】试题分析：（1）由奇函数定义得，根据对数运算性质可得或（舍去）；（2）利用定义判断并证明函数的单调性，先设任意两数，再作差，根据对数性质，只需比较真数大小即可，最后根据差的符号确定函数单调性；（3）先利用函数性质等价转化不等式，因为，所以对于任意恒成立，再令，转化为区间端点值满足不等式即可，解不等式即得实数的取值范围.

试题解析：（1）∵函数为奇函数，

∴在定义域内恒成立，

即，∴在定义域内恒成立，∴或（舍去），即，.

故函数的定义域是.

（2）（），任取且，则设（），.

∵，，∴，

∴，即在定义域内单调递增.

（3）假设存在实数，使得不等式恒成立，即恒成立.

由（1），（2）知：对于任意，

当时成立；

当时，令，

，即.

点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.