Question

已知椭圆 与轴，轴的正半轴分别相交于两点，点为椭圆上相异的两点，其中点在第一象限，且直线与直线的斜率互为相反数.

（1）证明: 直线的斜率为定值；

（2）求四边形面积的取值范围.

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：(1)解几中证明题的一般方法为以算代证，即求出直线的斜率的数值，因此先设直线方程为，与椭圆方程联立方程组解得点的坐标，再根据直线与直线斜率互为相反数，同理可求点的坐标，最后根据斜率公式求直线的斜率，(2) 四边形面积可转化为两个三角形面积之和，即，这两个三角形的底为，高分别为到直线的距离，因此先设直线的方程为，根据点到直线距离可得高，根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理、弦长公式可得底长，最后代入面积公式化简得,根据的取值范围确定面积取值范围.

试题解析：(1) 证明: 因为直线与直线斜率互为相反数，所以可设直线方程为，直线方程为,联立方程组,解得点的坐标为；

联立方程组,解得点的坐标为,

所以.

(2) 设直线的方程为,记到直线的距离分别为,

则,联立方程组，得,所以,

,

因为,所以.

点睛：

解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.