Question

已知函数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）若曲线仅在两个不同的点，处的切线都经过点，其中，求的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先对函数求导，再分类分析讨论求解；（2）先依据导数的几何意义建立方程组，再抽象概括出方程有解，以此为前提构造函数，最后借助导数使得问题获解。

试题解析：

（1）证明：∵，∴，

∴，令，得.

当时，，在区间上，，∴在区间上递减.

当时，，在区间上，，∴在区间上递增.

当时，在区间上，，∴在区间上递增；

在区间上，，∴在区间上递减.

（2）曲线在两点处的切线的方程分别为

，

.

设，将代入两条切线方程，得

，

.

由题可得方程即有且仅有不相等的两个实根.

设，

.

①当时，，∴单调递增，显然不成立.

②当时，，解得或.

∴的极值分别为，.

要使得关于的方程有且仅有两个不相等的实根，

则或.

∵，∴，∴，（1），或.（2）

解（1），得，解（2），得或.

∵，∴的取值范围为.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景和条件，旨在考查导数的有关知识在解答函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用，以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力。