Question

如图，在四棱锥中，侧面底面，为正三角形，，，点，分别为线段、的中点，、分别为线段、上一点，且，.

（1）确定点的位置，使得平面；

（2）点为线段上一点，且，若平面将四棱锥分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥的体积公式求【解析】

试题解析：

【解析】
（1）为线段的靠近的三等分点.

取的中点，连接，在线段上取一点，使得，∵，∴，

则，

当为线段的靠近的三等分点时，即，.

∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.

（2）∵三棱锥与四棱锥的高相同，

∴与四边形的面积相等.

设，则，∵，

∴，

解得.

取中点，∵为正三角形，∴，∵平面平面，

∴平面，过作，交于，则平面，

∵，，∴，∴.

点睛：立体几何是高中数学中的重要知识点，也是高考重点考查的内容之一，解答本题的第一问时，先证明线线平行，再运用线面平行的判定定理进行推证，从而使得问题获证；求解第二问时，关键是确定三棱锥的底与底上的高，这里仍然运用线面垂直的性质定理进行分析推证从而获证的。