Question

已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ）存在，使．

【解析】（Ⅰ）如图，设.

把代入得，由韦达定理得.

∴，∴点的坐标为.

设抛物线在点处得切线的方程为，

将代入上式得，

∵直线与抛物线相切，

∴，∴，即.

（Ⅱ）假设存在实数，使，则.

又∵是的中点，∴.

由（Ⅰ）知.

∵轴，∴.

又

.

∴，解得，即存在，使.

点睛：本题考查的是抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，以及运用所学知识去分析问题解决问题的能力。求解第一问时联立直线与抛物线的方程组，运用斜率相等证明命题的成立；第二问求解的思路是先假设符合题设条件的参数存在，然后再依据题设条件进行分析探求，最终求出满足题设条件的在，使得问题获解。