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已知函数. (1)若图象上的点处的切线斜率为,求的极大值; (2)若在区间上是单...

已知函数.

(1)若图象上的点处的切线斜率为,求的极大值;

(2)若在区间上是单调减函数,求的最小值.

 

(1)当时,取极大值;(2)最小值为. 【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义可知 , ,解得 ,代入函数后求函数的导数,并根据导数零点判断两侧的单调性,求函数的极大值;(2)将问题转化为 ,当 恒成立,即 ,这样就转化为关于 的二元一次不等式组,求目标函数的最小值. 试题解析:(1)∵, ∴由题意可知:,且, ∴得:, ∴, 令,得, 由此可知: 3 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   ∴当时,取极大值. (2)∵在区间上是单调减函数, ∴在区间上恒成立, 根据二次函数图象可知且,得 即,作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线经过交点时, 取得最小值, ∴的最小值为. 【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题,求导后变为二次函数,所以要熟练掌握二次函数的问题,比如开口,以及与轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响,如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0,这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组,进行求解.  
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考点分析:
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已知函数.

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;②;③

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其中真命题是__________.(写出所有真命题的序号)

 

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