Question

如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点，利用中位线的性质，可证明平面GEF//平面ABC，进而得到EF//平面ABC；（Ⅱ）由题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求出法向量之间的夹角即可求出二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，

则GE//AC，GF//AB，

因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，

所以EF//平面ABC．

（Ⅱ）作BO⊥AC于点O，过点O作OH//PA，

以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，

则

∴，

则平面CDA的一个法向量为

设平面CDB的一个法向量为

则

可取，所以，

所以二面角B−CD−A的余弦值为．