Question

已知函数，记为的导函数.

（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；

（2）讨论的解的个数；

（3）证明：对任意的，恒有.

Answer

（1）（2）详见解析(3)详见解析

【解析】

试题分析：（1）求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得；（2）由题意可得：，令，求出导数、单调区间和极值、最值，讨论的取值范围，即可得到解得个数；（3））令，利用导数可判断在单调递减，结合，可得结果.

试题解析：（1）由已知可得，函数的定义域为

，所以在点处的切线的斜率

又切线垂直于直线，所以，即，所以

（2）由（1）可得，令得，

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.

又当时，，当时，，当时，，

故当时，无解；

当时，有唯一解；

当时，有两解.

（3）令

在单调递减，又

.

点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率、利用导数研究函数的单调性，两条直线相互垂直则其斜率之积为，以及函数的零点的存在性及个数问题，对于函数零点的个数主要是通过导数研究其单调性得到其图象的大致形状，难点在与渐近线的判断，即时，函数的变化情况.