Question

已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（   ）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Answer

B

【解析】

因为，若，且对任意的恒成立，

即 ，因为

即 ，对任意恒成立，

令，则

令 ，则

所以函数 在 上单调递增.

因为

所以方程 在上存在唯一实根 ，且满足

当 时， ，即 ，当 时， ，即

所以函数在 上单调递减，在 上单调递增

所以

所以=

所以 ，因为 ，故整数 的最大值为 ，故选B.

点睛：不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.