Question

如图，正方体的棱长为,分别为的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的正切值．

Answer

(1) 详见解析，(2)

【解析】

试题分析（1）两直线分别在两个相互平行的平面内，所以先通过平行四边形将它们移到同一平面，再根据平几知识证明垂直关系，（2）求二面角的大小，关键是作出二面角的平面角，而要作出二面角的平面角，需利用线面垂直关系：由于侧棱垂直底面，所以过作，再根据三垂线定理得,进而得到二面角的平面角，最后在直角三角形中求出这个角的正切值.

试题解析：

(1)证明：连接

在正方体中，

因为分别为的中点

又因为,

．

(2)【解析】
过作于,连接

因为在正方体中, 底面

因为

平面

是二面角的平面角

因为正方体的棱长为，为的中点

，

中,

中,

二面角的正切值为．