Question

已知函数，若函数在处的切线与函数的图象恰好只有3个公共点，则的取值范围是__________．

Answer

【解析】

由题意得，当时，直线的方程为：，其与时的图象只有一个交点，当时，，则将直线的方程代入到中，得，由得， ，当时， ，在定义域内，此时在时，直线与有两个交点，综合有三个交点；当时， ，不在定义域内，此时在时，直线与有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与的图象的公共点个数为2或3.

【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当时，将直线直线代入到中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.