Question

已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若当时，，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时，，又

切线方程为；（2）当时，等价于．

令，，（i）当，时

在上单调递增；（ii）当时当时，

在单调递减的取值范围是．

试题解析： （1）的定义域为，当时，，

所以，故，

又，所以曲线在处的切线方程为．

（2）当时，等价于．

令，

则，，

（i）当，时，，

故，在上单调递增，因此；

（ii）当时，令，得，，

由和，得，

故当时，，在单调递减，因此，

综上，的取值范围是．

考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.