Question

已知函数．

（1）若是的极值点，求的极大值；

（2）求的范围，使得恒成立．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）

，列表可得：的极大值为；（2）原命题等价于当时，恒成立，设，再利用导数工具求得当时，恒成立．

试题解析：（1）（）,

∵是的极值点，

∴，解得，

当时，，

当变化时：

极大值

极小值

∴的极大值为．

（2）要使得恒成立，即时，恒成立，

设，

则．

①当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，

∴，得；

②当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，

此时，不合题意；

③当时，在上单调递增，此时，不合题意；

④当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，

此时，不合题意．

综上所述，时，恒成立．

考点：1、函数的极值；2、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查函数的极值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.