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已知椭圆的离心率,过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1....

已知椭圆的离心率,过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若动直线交椭圆于不同两点,设为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时,求证:的面积为定值,并求出该定值.

 

(I);(II)证明见解析,. 【解析】 试题分析:(I)借助题设条件建立方程组求解;(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求. 试题解析: (Ⅰ)由题意知得,即. ① 因为直线过左焦点且倾斜角为30°可得直线方程为 又因为直线与圆相交弦长为1, 所以圆心到直线距离, 再由勾股定理得:② 由①②联立可知 即椭圆方程为 (Ⅱ)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,,因为以线段为直径的圆过原点,所以,即, 所以, 即,③ 又因为点在椭圆上,所以,④ 把③代入④得:, 所以. (ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为, , 因为交于不同两点,所以, ,即, 由韦达定理得:, 由题意知即,又, 所以, 即 整理,得. 即.⑤ 因为 点到直线的距离, 所以 ,⑥ 将⑤代入⑥得, 综上,三角形的面积为定值1. 考点:椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用. 【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,进而求得,求得椭圆的标准方程为;第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的当以线段为直径的圆恰好过点时满足的条件建立方程,建立三角形的面积函数,最后计算证得改三角形的面积是定值,从而使得问题获解.  
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