Question

已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点. 设直线和的斜率为.

①求证: 为定值；

②求的面积的最大值.

Answer

(1) ；(2)①见解析；②．

【解析】

试题分析：(1)在方程中分别令、，由此求得椭圆的上顶点与右顶点坐标，从而求得椭圆的方程；(2)①首先设出直线直线的方程，然后联立椭圆方程，利用违达定理求出的值；②首先设出直线直线的方程，然后联立椭圆方程，利用违达定理求出求得的面积的表达式，由此求得其最大值．

试题解析：(1) 在方程中，令，则，所以上顶点的坐标为，所以；

令，则，所以右顶点的坐标为，所以，

所以，椭圆的方程为.

(2) ①设直线的方程为.代入椭圆方程得.设，则，

所以为定值．

②因为直线过点，设直线的方程为，即代入椭圆方程得.由判别式解得.

点到直线 的距离为 ，则，

令，则

，所以时，的最大值为.

考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．