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已知函数. (1)若函数与函数在点处有共同的切线,求的值; (2)证明:; (3...

已知函数

(1)若函数与函数在点处有共同的切线,求的值;

(2)证明:

(3)若不等式对所有都成立,求实数的取值范围.

 

(1);(2)证明见解析;(3). 【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解;(2)依据题设构造函数运用导数知识探求;(3)先将不等式进行转化,再构造函数运用导数知识探求. 试题解析: (1),,, 与在点处有共同的切线, ,即,……………………………4分 (2)令,则, 则在上是增函数,在上是减函数, 的最大值为,的最小值是,…………………………6分 设,, 故在上是增函数,在上是减函数,故, ;………………………8分 (3)不等式对所有的,都成立, 则对所有的,都成立, 令,,是关于的一次函数, ,,当时,取得最小值, 即,当时,恒成立,故.……………………………12分 考点:导数的几何意义导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三道综合问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是先运用导数的几何意义建立方程进行求解;第二问中的推证过程中,先构造函数和,再运用导数求其最小和最大值,进行比较推证;第三问的求解时,则先转化再构造函数,再运用导数的知识进行分析探求,从而使得问题获解.  
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考点分析:
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