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已知函数的最大值为. (1)若,试比较与的大小; (2)是否存在非零实数,使得对...

已知函数的最大值为.

(1)若,试比较的大小;

(2)是否存在非零实数,使得恒成立,若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.

 

(1) 当时,,当时,;(2)存在非零实数,范围为. 【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用分类整合思想求解;(2)依据题设先转化再运用导数知识探求. 试题解析: (1). 令,得,令,得,故函数在上单调递增,在上单调递减,故. 当时,,∴,∴; 当时,,∴,∴. (2)由(1)知,∴. 设,∴,令,解得. 当时,令,得;令,得, ∴, ∴. 故当时,不满足对恒成立; 当时,同理可得,解得. 故存在非零实数,且的取值范围为. 考点:分类整合思想及转化化归思想和导数等有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,精心设置了两道问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是先运用导数求函数最大值,再进行分类比较;第二问的求解时,先构造函数,再运用求导法及分类整合思想进行分析推证,从而使得问题获解.  
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