Question

已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.

Answer

(1)；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求.

试题解析：

（1）由，可得椭圆方程.

（2）设的方程为，代入并整理得：

.

设，，则，

同理.

则

.

所以，是定值.

考点：椭圆的标准方程几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识及直线与椭圆的位置关系等知识的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,进而求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助二次方程中根与系数之间的关系，依据坐标之间的关系进行计算探求，从而使得问题获解.