Question

已知函数（，）．

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

试题解析：（1）当，，

令，得，

又的定义域为，由得，由，得，

所以时，有极小值为，

的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），且，令，得到．若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于．

当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为．

由，得，即.

当，即时，

①若，则对成立，所以在区间上单调递减，

则在区间上的最小值为．

显然，在区间上的最小值小于不成立．

②若，即时，则有

所以在区间上的最小值为，

由，得，解得，即，

综上，由①②可知：

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

【方法点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力．