Question

已知函数，其中，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）减区间；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时，对其求导，令，对求导，判断其小于恒成立，得其单调区间；（2）恒成立，转化为，利用导数得函数在内单调递增，当时，，可得的范围．

试题解析：（1）当时，，故，令

，则，故当时，，有单调递减；当时，，有

单调递减，因此在单调递减；

（2）法一：由题对任意的恒成立，令，即

，令，则，故在单调递增，当时，，

，因此，所以．

法二：由题可知对任意的恒成立，

，①当时，显然满足题意；②当时，令，则，故，若，则，矛盾；若，因为，所以，矛盾．综上知．

考点：利用导数研究函数的单调性；恒成立问题．

【方法点晴】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解．