Question

已知函数．

（Ⅰ）若对定义域内任意，成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：对，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）不等式恒成立问题往往转化为对应函数最值问题：，利用导数求函数最值：因为，所以导函数零点为，列表分析导函数符号变化规律，可得时取最小值（Ⅱ）引入第三量作比较大小的桥梁：先证，，即证 ，利用导数易得为减函数，即；同理可证，

试题解析：（Ⅰ）【解析】
的导数为，

令得，

所以，

恒成立，，即，所以．

（Ⅱ）证明：的导数为，

易知在上为增函数．

欲证明，

从图像分析可先证，

先证明，，

即证：

设，，

，

所以在内为减函数，

所以，故对于成立，

欲证即证：，

令，

，

所以在内为增函数，

故成立．

综上：对，不等式恒成立．

考点：利用导数求函数最值，利用导数证明不等式

【思路点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
①证明f(x)