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记表示中的最大值,如.已知函数. (1)求函数在上的值域; (2)试探讨是否存在...

表示中的最大值,如.已知函数.

(1)求函数上的值域;

(2)试探讨是否存在实数,使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.

 

(1);(2)存在,. 【解析】 试题分析:(1)根据题意,明确给定范围上的的表达式,然后求值域;(2)根据题意,明确给定范围上的的表达式,然后恒成立问题就转化为最值问题. 试题解析:(1)设,.............1分 令,得递增;令,得递减,.................2分 ∴,∴,.......................3分 即,∴.............4分 故函数在上的值域为...........................5分 (2)①当时, ∵,∴,∴,∴.................................................. 6分 若,对恒成立,则对恒成立, 设,则, 令,得递增;令,得递减. ∴,∴,∴,∵,∴....9分 ②当时,由(1)知,对恒成立, 若对恒成立,则对恒成立, 即对恒成立,这显然不可能. 即当时,不满足对恒成立,.........................11分 故存在实数,使得对恒成立,且的取值范围为.......12分 考点:导数应用. 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值;属于难题.本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.  
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考点分析:
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