Question

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若且，.

（i）求实数的最大值；

（ii）证明不等式：.

Answer

（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出导函数，再根据，由点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）（i）等价于，讨论时、当时两种情况，排除不合题意的的值，即可得实数的最大值；（ii）当时整理得，令，则，进而可证原不等式.

试题解析：（1）由题意且，

∴，

又，

∴在点处的切线方程为即

（2）（i）由题意知，

设，

则，

设，

则，

（1）当时，∵，∴，

∴在上单调递增，又，

∴时，，又，

∴，不符合题意.

（2）当时，设，

①若，即时，恒成立，

即在恒成立，∴在上单调递减又，

∴时，，，，

时，，，，符合题意.

②若，即时，的对称轴，

∴在上单调递增，

∴时，，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

而，∴，不符合题意，

综上所述.

（ii）由（i）知时，，

当时整理得，

令，则，

∴，

∴，

∴，

即

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明.

【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.