Question

如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面．

（Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积比．

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）易证得平面,再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；(II)设棱锥的体积为,易求得，三棱术的体积为,于是得,从而可得答案.

试题解析： （I）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，

∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；

（II）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，

∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；几何体的体积.

【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直--线面垂直--线线垂直.本题难度中等.