Question

已知函数（为常数，=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中是的导函数．证明：对任意＞0，＜．

Answer

(1)；(2)单调递增区间为，单调递减区间为；(3)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)求出函数的导函数,函数在点处的切线与轴平行,说明,则可得；(2)求出函数的定义域,然后让导数等于,求出极值点,借助于导函数在各区间内的符号求函数的单调区间；(3),分别研究的单调性,可得函数的范围,即可证明结论.

试题解析：（1）由，得，，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此

（2）由（1）得，令 当时, ；当时，.又，所以时，；

时，，因此的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）证明因为，所以，.因此对任意等价于.

由（2）知，

所以，

因此当时，﹥0, 单调递增；当时, ﹤0, 单调递减.

所以的最大值为 故. 设,

因为，所以，﹥0, 单调递增, ﹥,

故时，,即﹥1.所以﹤,

因此对任意, ﹤.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值,最小值问题中的应用.