Question

如下图，在多面体中，⊥平面,,且是边长为2的等边三角形，,与平面所成角的正弦值为.

（1）若是线段的中点，证明：⊥面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：(1)取中点,连接平面即是与平面所成的角,求出,以为原点,建立空间直角坐标系,取的中点,则面.利用,⊥面；(2)求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用两个法向量的夹角求出二面角的平面角．

试题解析：（1）证明：取AB的中点，连结,则面

∴即是与平面所成角,

取的中点为,以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则

取的中点为,则面

,

所以，所以面.

（2）【解析】
由上面知：面，

又

取平面的一个法向量

又,,

由此得平面的一个法向量

则，所以二面角的平面角的余弦值为.

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.

【易错点睛】本题主要考查了用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.破解线面垂直关系的技巧：(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．