Question

已知二次函数的图像经过坐标原点，其到函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上．

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得＜对所有都成立的最小正整数m.

Answer

(I)；(II).

【解析】

试题分析：(I)设二次函数,根据导函数的表达式,再根据点均在函数的图象上,求出的递推公式；(II)把(I)中的递推关系式代入,根据裂项相消求得,最后解得使＜对所有都成立的最小正整数.

试题解析：（Ⅰ）设这二次函数，则，

由于，所以，所以，

又因为点均在函数的图像上，所以，

当时，，

当时，，也适合.

所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

故

随着的增大，逐渐增大直至趋近，故﹤对所有都成立，只要即可，即只要.

故使得﹤对所有都成立的最小正整数.

考点：数列的求和；导数的运算.

【易错点睛】本题主要考查了数列求和,导数的运算等知识.用裂项相消法求和应注意的问题.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．裂项相消是数列求和的重要方法之一.