Question

已知函数，其中且．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）当时，的增区间是，减区间是，

当时，的减区间是，增区间是（2）

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，根据的正负讨论导数符号变化规律，进而得单调区间（2）对应不等式有解问题，一般利用变量分离法，转化为对应函数最值问题：最大值，再利用导数求函数最大值，先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而得出单调性，确定极值与最值

试题解析：（1）定义域为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分

当时，时，；时，，

当时，时，；时，．．．．．．．．．．4分

所以当时，的增区间是，减区间是，

当时，的减区间是，增区间是．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）时，，由得：，

设，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以当时，；当时，，

所以在上递增，在上递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．12分

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.