Question

已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）用基本量法，即用表示已知条件，列出方程组，求出即可求数列的通项公式；（2）用裂项相消法求数列的前项和，列出不等式参变分离得，由基本不等式求的最小值即可.

试题解析： （1）设数列的公差为，则

即………………2分

又因为，所以………………4分

所以.………………5分

（2）因为，

所以.………………7分

因为存在，使得成立，

所以存在，使得成立，

即存在，使成立.………………9分

又，（当且仅当时取等号），

所以.

即实数的取值范围是.………………12分

考点：1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式.

【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力.