已知椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．（1）求椭圆...

已知椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（3）设为坐标原点，取上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，求该圆面积的最小值时点的坐标．

(1)；(2)；(3). 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)运用抛物线的定义求解；(3)借助题设运用圆与抛物线的位置关系探求. 试题解析：（1）由，得，再由，解得……………………1分由题意可知，即…………………………………………………2分解方程组得，……………………………………………………3分所以椭圆的方程是……………………………………………………………4分（2）因为，所以动点到定直线：的距离等于它到定点的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…………………………………………6分所以点的轨迹的方程为………………………………………………………7分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以，即…8分设，，，所以因为，，化简得……………………………………9分所以，当且仅当即，时等号成立．…………………………10分圆的直径因为，所以当即时，，…………………11分所以所求圆的面积的最小时，点的坐标为………………………………12分考点：椭圆的定义抛物线的定义及圆与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件建立方程组得，,然后求得椭圆的标准方程为.第二问的求解过程中,则利用以为直径的圆与相交于点，建立方程,化简得,再运用基本不等式求得当且仅当即，时等号求出圆的直径,进而推证圆的面积的最小时，点的坐标为,从而使得问题获解.

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考点分析：

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