Question

已知函数，对于任意的，，当时，.

（1）求证：，且是奇函数；

（2）求证：，是增函数；

（3）设，求在时的最大值与最小值.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用奇函数的定义推证；(2)借助题设运用单调增函数的定义推证；(3)借助函数的单调性求解.

试题解析：

（1）令，则，；

令，则，所以为奇函数.

（2）设且，则；因为当时，，所以

所以，，即，所以，是增函数.

（3）由（2）知，，是增函数，，

，

，

所以，.

考点：函数的单调性奇偶性的定义等有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题以抽象函数满足的条件形式对于任意的，，当时，为背景,设置了一道综合考查和检查函数的单调性奇偶性定义的应用问题.求解时灵活巧妙地运用赋值法令，求得；再令，则，证得函数为奇函数.第二问中则通过巧妙利用假设,将,从而运用单调性的定义证得函数是单调递增函数;然后第三问中直接运用第二问中证得是结论求出其中最大值和最小值.