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已知椭圆的焦距为,其上下顶点分别为,点. (1)求椭圆的方程以及离心率; (2)...

已知椭圆的焦距为,其上下顶点分别为,.

(1)求椭圆的方程以及离心率

(2)的坐标为,过点的任意作直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率依次成等差数列,探究之间是否存在某种数量关系,若是请给出的关系式,并证明;若不是,请说明理由.

 

(1);(2). 【解析】 试题分析:(1)依题意,,求出的值,即可得到椭圆的方程;(2)①当直线的斜率不存在时,将直线与椭圆方程联立,求得的坐标,利用,可得满足的关系式;②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入整理化简,利用韦达定理及,可得的值从而可得满足的关系式. 试题解析:(1).又, 则椭圆方程为:. (2)取,则 则满足:.设直线,且, , , 而:,故满足:. 考点:椭圆的集合性质;直线和椭圆的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查了方程的思想和运算能力,属于中档题.求椭圆的离心率通常根据条件求的一个关系即可,求椭圆方程通常采用待定系数法.研究圆锥曲线中两点的斜率问题,可以用“设而不求”的方法,列出代数关系,根据韦达定理带入化简即可,,这是圆锥曲线中最常见的题型之一.  
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