Question

已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）若曲线在处的切线方程为．求实数的值；

（2）①若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围；

②若，若对一切正实数恒成立，求实数的取值范围（用表示）．

Answer

（1）；（2）①；②.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义求解；（2）借助题设运用导数的有关知识求解.

试题解析：

（1）由题意知曲线过点，且；

又因为，

则有，解得

（2）①当时，函数的导函数，

若时，得，设，

由，得

当时，，函数在区间上为减函数，；

仅当时，有 两个 不同的解，设为，

0

0

极大值

极小值

此时，函数既有极大值，又有极小值．

②由题意对一切正实数恒成立，取得，

下证对一切正实数恒成立，

首先，证明，设函数，则，

当时，；当时，；得，即，

当且仅当都在处取到等号，再证，设，则，当时，；

当时，；得，即，

当且仅当都在处取到等号，

由上可得，所以，

所以

考点：导数的几何意义及求导法则等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数几何意义求出使得问题获解；第二问则利用题设中的不等式恒成立运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.