Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的图象在两点处的切线分别为，若，且，求实数的最小值．

Answer

（1）减区间是，增区间是；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用分类探求；（2）借助题设运用恒成立建立不等式求解；（3）依据题设构建函数,运用导数知识求解.

试题解析：

函数，求导得，

（1）当时，，

①若，则恒成立，

所以在上单调递减；

②若，则，令，解得或（舍去）

若，则，在上单调递减；

若，则，在上单调递增；

综上，函数的单调减区间是，单调增区间是

（2）当时，，而，

所以当时，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以函数在上的最小值为，

所以恒成立，解得或（舍去）

又由，得，

所以实数的取值范围是．

（3）由知，，而，则，

若，则，

所以，解得，不合题意

故，则，

整理得，，

由，得，令，则，

所以，设，则，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

所以函数的最小值为，

故实数的最小值为

考点：导数的几何意义求导法则及函数的单调性等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的不等式恒成立则是借助导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则是借助题设建立等量关系,运用等价转化的数学思想建立函数运用导数知识求解,从而使得问题简捷巧妙获解.