Question

已知，函数．

（1）求证：曲线在点处的切线过定点；

（2）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意给定的正数 ，总存在，使得在上为单调函数．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求出切点坐标及切线方程,切线恒过定点即与参数无关,令系数为,可得定点坐标；（2）,要使成为极大值,因此,又不是最大值,而在单增,单减,单增,因此,可求得的范围；（3）在单增,单减,单增,又,所以要使在单调,只需,即,故存在.

试题解析：【解析】
（1）证明：∵，∴

∵，∴曲线在点处的切线方程为，

即，令，则，

故曲线在点处的切线过定点

（2）【解析】
，

令得或

∵是在区间上的极大值，∴，∴

令，得或递增；令，得递减，

∵不是在区间上的最大值，

∴在区间上的最大值为，

∴，∴，又，∴

（3）证明：，

∵，∴

令，得或递增；令，得递减，

∵，∴

若在上为单调函数，则，即

故对任意给定的正数，总存在（其中），使得在上为单调函数

考点：导数的应用.

【方法点晴】本题考查学生的是函数在某点处的切线方程和函数的单调性问题,属于难题.求切线方程的一般过程是设出切点,对函数求导代入切点为斜率,点斜式写出直线的方程;判断函数的单调性,一般要对参数进行分类讨论,二次函数开口方向,比较两个极值点的大小关系,或者极值点是否落在定义域内,按照不同的情况分别写出单调性从而求出极值或者最值.