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若函数满足:,则称为“函数”. (1)试判断是否为“函数”,并说明理由; (2)...

若函数满足:,则称为“函数”.

(1)试判断是否为“函数”,并说明理由;

(2)若为“函数”且

(ⅰ)求证:的零点在上;

(ii)求证:对任意,存在,使上恒成立.

 

(1)是“函数”,理由见解析;(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)因为满足,所以是“函数”;(2)(i)由 且,解得,根据函数和都在上单调递增,可得单调递增,再根据零点存在性定理可判断零点在上;(ii)由(i)可知,且,又因为函数单调递增,所以在时,,所以存在,使在上恒成立. 试题解析:【解析】 (1)∵, ∴为“函数”. (2)∵① ② ∴①+②得:,∴. (ⅰ)∵与均为增函数,∴在上为赠函数, 又,∴的唯一零点必在上. ∵,,∴的唯一零点在上. (ⅱ)由(ⅰ)知,的零点,且, 又在上为增函数,∴在上恒成立, ∴对任意,存在,使在上恒成立. 考点:1.函数的零点;2.恒成立问题.  
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考点分析:
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已知函数,其中是常数.

(1)若是奇函数,求的值;

(2)求证:是单调增函数.

 

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